Учитель математики достает гостей на вечеринке и требует измерить ломтик огурца. Все не просто так Фрагмент книги Бена Орлина «Время переменных» (с плохими картинками!)
Будем честны: в школе и университете многие засыпали на уроках математики. Но кажется, проблема решена. Учитель математики и автор блога «Математика с плохими картинками» Бен Орлин пишет (и рисует!) так, что спать не хочется — наоборот, мозг приходит в движение, хотя иногда со скрипом. Его книга «Время переменных» вышла на русском языке в издательстве «Альпина нон-фикшн» в переводе Виктории Краснянской. Орлин всю книгу пытается связать математику и реальную жизнь — то есть сделать то, чего так не хватает на обычных уроках. Предлагаем начать изучение с главы про огурец. Почему бы и нет!
Коктейльная вечеринка. Напиток в руке, светский разговор, можно разглядывать красивых девушек. Все это довольно приятно, пока кто-нибудь не спросит, чем я занимаюсь.
Если смотреть на то, как меняются лица собеседников во время моего ответа, можно подумать, что я говорю: «Я член мафии», или «Я коррумпированный судья», или «Я путешественник во времени, которого послали предотвратить апокалипсис, для чего надо убить всех присутствующих на этой вечеринке».
В действительности я отвечаю: «Я учитель математики».
Понятно, мы с коллегами не всегда воздаем должное красоте нашего предмета. Я говорю слово «круг», и немногие студенты вспоминают стихи Джона Донна: «Но если ты всегда тверда / Там, в центре, то должна вернуть / Меня с моих кругов туда, / Откуда я пустился в путь» — или представление Паскаля об устройстве Вселенной: «Вселенная — это не имеющая границ сфера, центр ее всюду, окружность — нигде». Нет, в голову приходят наполовину заученные формулы. Задачи из учебника. Бесконечные цифры после запятой в числе π.
Я чувствую себя обязанным защитить честь своего предмета, доказать, что он принадлежит к перекрывающим друг друга кругам Эйлера. Поэтому я делаю то, что сделал бы любой на моем месте: со скоростью голодного зверя хватаю порцию еды со стола с закусками.
— Какова площадь этого куска огурца? — требую я ответа.
Тот, кто бросил мне вызов, хмурится:
— Это странный вопрос.
— Вы правы! — кричу я. — Это странный вопрос, потому что площадь определяется с помощью крошечных квадратиков — квадратных дюймов, или квадратных сантиметров, или даже квадратных миллиметров, — а этот круглый ломтик огурца не может быть разделен на квадратики. Из-за закругленных краев его площадь трудно измерить. Поэтому… что же нам делать?
В этот момент я вооружаюсь ножом. Возможно, мой собеседник пугается, но, если мне повезет, он увидит, что я имею в виду.
— А! — восклицает он. — Мы можем порезать его на кусочки!
И мы режем несчастный огурец, как крошечный пирог, так, чтобы получилось восемь маленьких ломтиков. Расположив их иначе, мы получаем фигуру другой формы, но имеющую ту же площадь, что и первоначальный кусок огурца.
— Это почти прямоугольник, — отмечает мой оппонент. — А площадь прямоугольника найти просто. Нужно только умножить его высоту на ширину.
— Так какой же будет высота и ширина? — спрашиваю я.
— Ну, ширина — это, должно быть, половина длины окружности огурца. А высота, наверное, радиус огурца.
— Так задача решена?
— Не-а, — отвечает он. — На самом деле это не прямоугольник. Он неровный. Искаженный.
— Специальный термин, — объясняю я, — это «колеблющийся». Так что же нам делать?
Размышляя в этом направлении, мы берем еще один кусок огурца и рассекаем его на 24 еще более тонких ломтика. После их тщательного раскладывания получается фигура подобной формы, только слегка менее колеблющаяся, чуть менее шатающаяся. Другие гости смотрят на нас с благоговейным страхом и восхищением или, возможно, с жалостью и отвращением — я никогда не мог определить разницу.
— Теперь он более прямоугольный! — говорит мой собеседник. — Но еще не совсем.
Так что мы берем еще один ломтик огурца и нарезаем его еще тоньше.
— Теперь это прямоугольник? — спрашиваю я.
Вздох:
— Нет. Он все еще колеблется по высоте и шатается по ширине. Все эти загибы здесь, пусть даже они стали микроскопическими.
— Специальный термин, — объясняю я, — это «малипусенький».
— Надо нарезать огурец на неисчислимые ломтики, каждый из которых бесконечно мал, — говорят мне. — Это единственный способ создать прямоугольник. Но… это невозможно.
Мой оппонент колеблется:
— Не так ли?
Возможно это или нет, но математик по имени Евдокс сделал это еще 24 века назад, на территории, где в наши дни находится Турция. Мы называем такой подход «методом исчерпывания» не потому, что он что-то исчерпывает, а потому, что определенное расхождение постепенно исчезает или «исчерпывается». Это расхождение между приближением (колеблющимся прямоугольником) и тем, к чему он стремится (идеальным, свободным от колебаний прямоугольником). Проследуем по этому логическому пути до конца, и мы увидим, что площадь круга — это то же самое, что площадь прямоугольника: произведение радиуса и половины длины окружности.
Или, если вы предпочитаете уравнения: площадь = ½ × длина окружности × радиус.
На столовой салфетке мы набросали интеграл в зачаточном виде. Рассечь проблемный объект на неисчислимые части, каждая из которых бесконечно мала; переместить их, сложить более простую совокупность и из этого перемещения сделать выводы о первоначальном объекте — эти шаги формируют шаблон, наметки интегрального исчисления.
Возможно, к этому моменту у моего собеседника кончилось вино. Вполне справедливо. Мы обмениваемся кивками и визитными карточками, чтобы больше никогда не встречаться. Предполагаю, именно для этого визитные карточки и служат — всеобщий знак, заменяющий слова «прощайте навсегда!».
Или, возможно, любопытство моего оппонента только усилилось. Он снова наполняет мой бокал, я набиваю карманы сыром, и, глубоко вдохнув, мы снова погружаемся в математику.
— Крутая формула! — говорит он. — Но это не совсем то, что я учил в школе.
— Это потому, что мы определили площадь через длину окружности, — говорю я. — А мы еще не нашли, чему равна длина окружности.
— Так как же мы это сделаем?
Вначале мы совершим небольшой экскурс в историю. Основополагающий древнекитайский трактат по математике называется «Математика в девяти книгах». Я считаю, что давать ему такое прозаическое название было просто стыдно. Другие древнекитайские математические тексты называются как-то вроде «Эссе о бассейне мечты» или «Яшмовое зеркало четырех первоэлементов». Составлявшиеся в течение нескольких веков «Девять книг» содержат в себе все — от арифметики до геометрии и операций с матрицами, это математическая библия, обладающая неизмеримой глубиной и полнотой.
Есть только одна проблема: в ней напрочь отсутствуют объяснения. Это просто набор процедур без малейшего намека на конкретные случаи или разработку. На мой взгляд, самый худший вид учебника.
Тут на сцену выходит математик III века Лю Хуэй. Он не был автором «Математики в девяти книгах»; он написал к ним комментарии, совсем как принц-полукровка в романе Джоан Роулинг; он был вдумчивым читателем, снабдившим примечаниями старый пыльный текст и таким образом вдохнувшим в него новую жизнь.
Оригинальная книга обходила стороной вопрос о длине окружности. Лю Хуэй был не таким человеком, чтобы не обращать на него внимания. Идя по его стопам, я набираю горсть зубочисток из фруктовой нарезки и располагаю их в виде треугольника на огуречном кружке.
— Вот! — заявляю я. — Длина окружности!
Мой собеседник поднимает бровь.
— Каждая сторона треугольника, — объясняю я, — это (½ × √3) диаметра. Таким образом, весь периметр — это (3 × ½ × √3) диаметра или приблизительно 2,6.
— Но это периметр треугольника, — отвечает он. — Не окружности.
— Естественно, — отвечаю я. — Кто может измерить кривую? Мы только можем приблизить ее к прямым линиям.
— Ну, если таков ваш подход, — говорит он с усмешкой, — вам лучше закончить чем-то подобным.
Быстрая перестановка удваивает количество сторон в моей фигуре с трех до шести.
— Шестиугольник, — заявляю я. — Да. Теперь периметр этой фигуры равен трем диаметрам. И это действительно длина окружности, не так ли?
Едва ли. Мы только воссоздали предположение из оригинальной «Математики в девяти главах». Тем не менее, если еще немного поделить и разложить, мы последуем за Лю Хуэем и получим фигуру с 12 сторонами.
Немного тригонометрических вычислений на коленке, и мы узнаем, что периметр 12-угольника равен 3√6 − 3√2, или приблизительно 3,11.
Уже лучше. Но все еще не длина окружности. Не точно.
«Делите снова и снова, пока не настанет момент, когда дальше делить будет невозможно, — писал Лю Хуэй. — В результате мы получим правильный многоугольник, вписанный в окружность, и не останется никаких пустых участков». На самом деле этот процесс никогда не завершится, но он приближает к истине.
Зубочистки ломаются на все меньшие и меньшие кусочки, где-то в конце вечности процесс достигнет апогея, и у нас будет неисчислимое множество кусков, каждый из которых является бесконечно малым. Все вместе они составят длину окружности. Лю Хуэй дошел до многоугольника со 192 сторонами. В V веке его последователь Цзу Чунчжи сделал даже больше — 3072 стороны, и это позволило ему добиться такой точности, которую в течение следующего тысячелетия не смог превзойти никто. Длина окружности, по оценке Цзу, составляла 3,1415926 диаметра. Знакомые цифры?
Сегодняшние поклонники числа π, бурно отмечающие его день и страницами заучивающие знаки после запятой, не первые в своем страстном увлечении. В XV веке индийские и персидские исследователи заложили зачатки математического анализа, определив число π с точностью до 15-го знака после запятой. В 1800-х годах упрямец Уильям Шэнкс потратил десять лет своей жизни на то, чтобы вычислить 707 знаков, причем первые 527 из них действительно оказались правильными. Сегодняшние суперкомпьютеры могут рассчитать число π с точностью до миллиардного знака; если все эти цифры распечатать, а страницы с ними переплести, то получится библиотека, по размеру сопоставимая с гарвардской и такая же скучная.
Если учесть, что ряд чисел бесконечен, мы нисколько не приближаемся к концу. И все эти знаки совершенно бесполезны, нам никогда не понадобится ни один из тех, что находятся дальше первых нескольких десятков. Так почему же число π так нас завораживает?
Причина, думаю, очень проста. Люди что-то видят, и людям нужно это измерить. Круг — это неотъемлемая и неподатливая часть нашей реальности, как масса Земли, расстояние до Луны или количество звезд в Галактике. Даже более неподатливая, чем другие, потому что число π не меняется со временем. Оно остается константой логического мироздания. Поэт и лауреат Нобелевской премии Вислава Шимборская посвятила числу π гимн. Она писала: «ибо небо и земля прейдут, / но не Пи, только не оно, / оно продолжается пять, / уходит восемь, / не останавливаясь семь, / стремя, о, стремя беспечную вечность / все дальше».
Математики Античности рассекали окружность на неисчислимые куски, каждый из которых был бесконечно малым. Они делали это, чтобы лучше познать целое — площадь из клочков, длину окружности из обломков. Оглядываясь назад, мы можем распознать в этих попытках древних математиков то, чем они и являлись, — начало интегрального исчисления.
Я назвал часть своей книги, посвященную интегральному исчислению, «Вечности» в основном потому, что таким образом получается поэтическая пара названию «Мгновения». Кто-то другой мог бы назвать эти истории об интегралах «Эпопеи», «Совокупности», «Океаны» или…
Где-то в этот момент мой собеседник опускает глаза. Я следую за ним взглядом и вижу, что ковер засыпан обломками зубочисток и кусочками огурцов.
— Наверное, мы должны все это убрать, — говорю я.
Но к тому времени, когда я заканчиваю предложение, мой соратник уже исчезает, оставив после себя один-единственный след: прямоугольник, скользнувший в мою руку так незаметно, что я даже до сих пор его не замечал, — визитную карточку.
