разбор

Я плохо учил математику в школе, а теперь стало интересно. Что делать?

Meduza

17 ноября состоится всероссийская физико-техническая контрольная «Выходи решать!». Каждый желающий может зарегистрироваться на сайте и проверить свои знания школьной программы по математике, физике и информатике. Но что делать, если вам не хватает школьных знаний? «Медуза» попросила математика и матэкономиста, профессора МФТИ, ректора Университета Дмитрия Пожарского и активиста «Выходи решать!» Алексея Савватеева рассказать, с чего начинать учить математику во взрослом возрасте.

Запаситесь терпением

Итак, вы решили заняться изучением математики. Причины могут быть разные, и от ответа на вопрос «Зачем мне нужна математика?» можно строить индивидуальную стратегию изучения математики, выбрать подходящие ресурсы и преподавателей.

Входов в математику очень много: любая красивая задача, покер, транспортные пробки или аномалии при голосовании на выборах, — но нужно понимать, что при любом из них довольно быстро начинается движение в гору и «одышка головного мозга». Вам придется прилагать интеллектуальные усилия и научиться прыгать выше головы. Важно настроиться на работу и не читать книги по математике как художественную литературу. Подготовьтесь к тому, что в ближайшие годы значительную часть своей жизни вы потратите на изучение математики.

Учитесь рассуждать

Главная идея, которая отличает математику от других наук, — наличие абсолютного доказательства. Можно дать голову на отсечение, что любая строго доказанная математическая теорема дает абсолютное, стопроцентное знание.

А можно примеры?

В «пятнашках» в принципе нельзя поменять местами 14 и 15, если все остальные числа должны в конце концов остаться на своих местах. Вы не сможете это изменить — головоломка «14-15» не имеет решения.

Или, например, возьмем футбольный мяч, который состоит из пятиугольных и шестиугольных лоскутков. Если он склеен «по три лоскутка в каждой вершине», то 5-угольных лоскутков всегда, независимо от числа 6-угольных лоскутков и от метода склейки, будет ровно 12. Все необходимое для проведения соответствующего рассуждения придумал Эйлер еще 250 лет назад, и не нужно тратить время на попытки это опровергнуть.

Начните с нескольких основных книг, которые изменят ваши представления о математике

  • Лучше всего «ставит голову» книга «Начала теории множеств» Николая Верещагина и Александра Шеня. Она даст основу для понимания (а в дальнейшем и самостоятельного построения!) логических рассуждений. С нее же начнется и понимание теории множеств, лежащей в основе современной математики.
  • Охватить больше разделов математики поможет книга Рихарда Куранта и Герберта Роббинса «Что такое математика?». Как и книгу Верещагина и Шеня, эту книгу нужно читать внимательно, делая все упражнения. 
  • Если первые две книги окажутся сложными, можете начать с моей «Математики для гуманитариев». Ее также следует читать с самого начала, страницу за страницей, не стоит браться за чтение с середины. Она не очень простая, но предварительных сведений и математической культуры не предполагает.
  • Чтобы понять, каким образом математика входит в нашу жизнь, можно прочитать «Кому нужна математика?» Андрея Райгородского и Нелли Литвак или «Математическую составляющую» (сборник сюжетов под редакцией Николая Андреева).

Смотрите видеолекции

В интернете есть огромное количество научно-популярных лекций по математике:

Слушайте про открытые задачи, про знаменитые решенные математические проблемы и про те из решенных задач, над которыми математики ломали голову веками. Это вдохновляет вдумываться в глубокие и сложные рассуждения.

Например, была такая задача античных времен — разделить при помощи циркуля и линейки произвольный угол на три равные части. Сколько было сломано копий, пока в начале XVIII века человечество не накопило достаточно понимания того, что такое вообще вещественное число и какие бывают числа (алгебраические разных «степеней», трансцендентные). Это идея Нового времени, можно сказать, математическая революция нового масштаба, которая произошла в конце XVIII — начале XIX века.

Так что там с циркулем?

После этой революции стало ясно, что разделить с помощью циркуля и линейки угол на три равные части в принципе невозможно.

Используйте приобретенные знания

Для этого можно использовать различные онлайн-курсы. Например, на Coursera есть «Математика для всех» и «Теория вероятностей для начинающих» от Физтеха. А если знаете английский — «Введение в логику» от Стэнфордского университета или «Курс по тригонометрии» от Университета Калифорнии.

Обязательно разбавлять вдумчивое изучение теории практическими навыками решения упражнений и получать обратную связь. В противном случае все то, что вы, как вам казалось, поняли, улетучится на следующий день из вашей головы — да и сразу после прослушивания лекций вы не сможете объяснить экзаменующему вас ученому, что же там в лекциях содержалось, каковы корректные определения вводимых понятий и формулировки (не говоря уже о доказательствах!) ключевых теорем.

Ищите красоту

Математика без красоты — это ремесло, а математика с красотой — это искусство.

А можете пример?

Смотрите, есть равенство 1+2+3+…+n = (n²+n)/2 . Смотрите ниже, как можно показать его наглядно (для этого помните, что умножение n на n+1 можно представить в виде прямоугольника со сторонами n и n+1):

Красота!

Если вам какие-то задачи нравятся и вы готовы тратить на них силы, то стоит сосредоточиться на этих задачах и двигаться вперед по своей собственной траектории в математике — до поры до времени не смущаясь тем, что у вас много пробелов в иных областях (помимо вашей любимой). Но потом, когда/если вы захотите стать настоящим профессионалом, вам уже придется, стиснув зубы и скрепя сердце, изучить и «нелюбимую» часть математики. Вперед, желаю удачи — а главное, вдохновения и терпения!

Алексей Савватеев