«Медузе» всего 8 лет. А кажется, что прошла ∞ А что, если восьмерка неслучайно так похожа на бесконечность? Погружаемся в историю математики — и расследуем эту типографическую гипотезу
«Медузе» всего 8 лет. А кажется, что прошла ∞ А что, если восьмерка неслучайно так похожа на бесконечность? Погружаемся в историю математики — и расследуем эту типографическую гипотезу
20 октября «Медузе» исполняется восемь лет. За это время произошло столько всего, что, кажется, прошла целая вечность. А раз такое дело, мы решили рассказать о том, почему так похожи цифра 8 и знак бесконечности (∞). Оказалось, все не просто так.
В известной математической шутке утверждается, что если при стремлении x к 8 функция 1 / (x − 8) стремится к бесконечности, то при стремлении x к 5 функция 1 / (x − 5) должна аналогичным образом стремиться к пятерке, повернутой на 90 градусов.
Шутка, понятное дело, в том, что знак бесконечности подозрительно похож на упавшую на бок цифру восемь. И если в первом случае упала восьмерка, значит, во втором аналогичным образом должна падать пятерка. На самом деле предел второй функции — тоже, конечно, бесконечность.
Шутки шутками, но никто не мешает ответить на шутку всерьез. Никуда не деться от вопроса, связаны ли знаки между собой: арабская цифра 8, которую используют повсеместно (даже в тех странах, где есть свои цифры, как в Китае или арабском мире), и знак бесконечности — чисто математический символ, который давно уже стал поп-культурным явлением (он на картах Таро, татуировках, медальонах).
Оба символа имеют форму так называемой лемнискаты Бернулли — замкнутой кривой, состоящей из двух симметричных петель. Только одна лемниската вертикальная, а другая — горизонтальная. В англоязычной литературе для знака бесконечности даже используют термин «ленивая восьмерка» (lazy eight) — как будто цифра восемь просто прилегла на бок. Изначально это выражение применяли для обозначения тавро скота (что это такое, вы можете прочесть ниже — просто нажмите на кнопку). А популяризировали его относительно недавно, в частности, авторы книги 1993 года «От нуля до ленивой восьмерки» Александр и Николас Хумесы и Джозеф Магуайр, в которой они исследовали историю происхождения цифр и математических символов. Для бесконечности этот знак явно подходит — восьмерка, которой лень вставать и считать.
Тавро рогатого скота раньше выжигали на шкуре животных — чтобы с его помощью можно было узнать заводчика. Обычно тавро состоит из латинских букв и арабских цифр — отдельных или в виде лигатуры (знак, полученный соединением двух символов). Чтобы увеличить разнообразие тавр, их наносят на разные части тела животного — а кроме того, модифицируют обычные знаки. Среди этих модификаций есть и вполне стандартные: например, для литеры A это «сумасшедшая A» (crazy A) — перевернутая вверх ногами; «летающая A» (flying A) — с пририсованной парой волнистых линий сверху; «ленивая A» (lazy A) — повернутая на 90 градусов; «шагающая A» (walking A) — с пририсованными чертами у нижних ножек знака. Эти термины закрепились в языке заводчиков скота, а выражение, используемое для горизонтальной восьмерки, перешло и в математический контекст.
Глава «8»
Восьмерка в ее современном, «западноарабском» начертании появилась в Европе несколько раньше знака бесконечности. Хотя и не намного: в окончательном виде цифры, используемые по сей день в Европе, оформились только к рубежу XII—XIII веков.
Почему на современном Востоке не всегда используют «арабские» цифры?
Западноарабские и восточноарабские цифры — своего рода сестры. Обе системы образовались из брахмийских цифр, впервые возникших в Индии в начале I тысячелетия нашей эры.
В Европе сейчас используют западную ветвь этой системы. Индийские цифры после некоторых модификаций попадали в Европу дважды: первый раз в IX веке, второй — в XII—XIII веках. Оба раза их приносили арабы через Южную Европу, Испанию и Италию. Поэтому их и называют арабскими (а еще — индо-арабскими или вообще индийскими).
На Ближнем Востоке закрепилась восточная ветвь индо-арабской системы. Восточные арабские цифры тоже возникли в результате видоизменения индийских цифр, которое происходило одновременно с изменением цифр североафриканской ветви. Поэтому «арабские» (то есть западноарабские) цифры в арабоязычных странах часто не основная система записи. В большинстве стран арабского мира параллельно используются обе системы, но в странах Магриба в ходу почти исключительно привычная нам западноарабская система, а к востоку — в Иране и Афганистане — доминируют восточноарабские цифры.
В самой Индии сейчас используют третью «сестру» индо-арабских цифр. Эта группа цифр входит в систему индийской письменности деванагари, которая используется для записи хинди и родственных ему языков. Начертания графем для цифр в деванагари образовались из тех же брахмийских цифр, но параллельно западным и восточным арабским системам.
В Европу эти арабо-индийские цифры пытались проникнуть дважды — оба раза через Испанию. Там «губарские» цифры, которые выглядели еще не совсем так, как современные, использовали мавры — в основном для торговли.
После первого проникновения в конце X века эти цифры в Западной Европе не прижились — они распространились только в монастырях. Большинство европейцев, которые умели писать, прелестей разрядной системы арабских цифр не оценили и остались верны линейной римской записи.
При записи чисел римскими цифрами каждый разряд делится только пополам: после единицы I сразу идет пять V, потом десять X, пятьдесят L и сто C. Поэтому запись даже небольших чисел в такой системе получается громоздкой — их приходится составлять из мелких элементов. Для обозначения той же цифры 8 требуются четыре символа (VIII) вместо одного. Но купцы и бухгалтеры привыкли к счету пятерками на специальных счетах и переходить на новую систему не решились.
Вторая волна XII—XIII веков оказалась более успешной, и с этого времени «арабские» цифры стали медленно распространяться по Европе. Еще несколько столетий записи и расчеты (в торговле и бухгалтерии) продолжали вести также с помощью счетных таблиц с римской записью; основной арабская запись стала уже ближе к XV—XVI векам.
Современная европейская восьмерка, как и другие цифры, — результат постепенной трансформации изначального индийского символа (прообразы тех символов, которые мы привыкли называть «арабскими» цифрами, возникли именно на территории Индостана).
Привычная нам запись называется западноарабской, и иногда символы в ней возводят к восточноарабским, которые до сих пор используют в арабских странах, Иране или Афганистане. Восьмерка в этой системе изображается в виде направленного вершиной вверх острого угла. Некоторые считают, что при многократных переписываниях этот уголок мог обзавестись петлей сверху и замкнуться снизу.
Однако, согласно принятому сейчас консенсусу, эти системы — не последовательные стадии развития, а скорее сестры, которые имеют общего прародителя — брахмийские цифры.
В системе брахми цифра 8 напоминала недописанную S — и в западноарабской эта змейка разрослась до замкнутой кривой с двумя петлями. В восточноарабской, наоборот, сжалась до единственной петли уголком.
Сами же брахмийские цифры — основа индо-арабских символов, — вероятнее всего, образовались от первых букв слов, которыми их называли.
Правда, «диванные этимологи» и в XVIII веке, и сегодня выдвигают другую гипотезу — что обозначение цифр произошло от пальцевых жестов. И в восточноарабских, и в западноарабских цифрах люди часто пытаются разглядеть сходство с жестами, которыми эти цифры могли показывать на пальцах — например, во время торговли с иностранцами. Единица действительно похожа на один разогнутый палец. Но сходство остальных пальцевых цифр с письменными заметить куда сложнее. Кроме того, нет никаких документальных свидетельств, что где-либо использовались жесты, к которым возводил арабские цифры немецкий физик рубежа XVI—XVII веков Якоб Леопольд.
Глава «∞»
Символ бесконечности впервые появляется в письменном источнике уже после того, как восьмерка прочно закрепилась в европейских письменных системах, — в 1655 году. Арабские цифры (включая ноль) к этому моменту использовались в быту очень активно. Но для абстрактного понятия бесконечности в повседневной жизни специальный символ не нужен. Бесконечная цена невозможна при операциях купли-продажи, и в книгах бухгалтерского учета в графе расходов она будет выглядеть неуместно.
Математика же к тому моменту была недостаточно формализованной: в научных трудах цифры и знаки использовали не в таком объеме, как сейчас, их авторы больше опиралась на словесные описания. Для бесконечности никакого обозначения не было, просто потому что на тот момент он был не очень нужен.
Впервые символ бесконечности понадобился английскому математику Джону Валлису. Ученый пытался собрать и записать в математической форме идеи, которые высказывали до него. Благодаря в том числе трудам Валлиса математика начала постепенно формализоваться и обретать свой современный язык.
Одна из самых важных работ Валлиса — формализация метода неделимых Бонавентуры Кавальери. Этот итальянский математик в 1635 году собрал в своем трактате «Геометрия неделимых непрерывных, выведенная новым способом» набор геометрических приемов, с помощью которых предлагал считать площадь и объем геометрических фигур. Все фигуры для этого мысленно разрезали на очень-очень тонкие полосы, площадь которых можно вычислить, умножив высоту на длину. Затем нужно было сложить площадь этих полос. У Кавальери эти приемы были сформулированы в виде общих принципов и могли приводить к ошибкам, о чем знал и сам математик.
Через 20 лет после Кавальери теперь уже Валлис в своем «Трактате о конических сечениях» («De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus») формализовал подход итальянца — и с помощью метода неделимых записывал площадь треугольников. В формальном виде Валлиса площадь записывалась как бесконечный ряд бесконечно тонких параллелограммов. Для этой записи ему и понадобился новый знак.
При этом первым делом Валлис ввел не саму бесконечность, а обратное ей бесконечно малое число, 1/∞. Это высота одного параллелограмма — она должна быть не только бесконечно малой, но и неизменной от параллелограмма к параллелограмму. Умножив ее на длину параллелограмма a, можно получить площадь одной бесконечно узкой фигуры. После этого надо сложить бесконечное число этих площадей, уменьшая длину каждого следующего слагаемого, — здесь нужна уже сама бесконечность: ∞ · 1 / ∞ · a. Фактически этой схемой Валлис предвосхитил принцип интегрирования — еще до работ Ньютона и Лейбница.
Концепции бесконечно малого и бесконечно большого, конечно, были в середине XVII века не новыми. Они упоминались не только у непосредственных предшественников Валлиса, Кавальери и Декарта, но и у древних греков. Например, у Зенона, который в своем парадоксе об Ахиллесе и черепахе фактически ставил вопрос связи конечных и бесконечно малых интервалов. Но специальных символов до Валлиса для этих понятий не было.
При этом интересно, что английский математик ввел его как-то походя и довольно небрежно — совершенно не объясняя свой выбор, как будто символ уже давно в ходу. Ровно в той форме, в которой мы используем его сейчас. В скобках он просто поясняет, что ∞ обозначает бесконечное число.
Возможно, это была не первая работа с этим знаком и Валлис использовал ее в черновых или несохранившихся работах и до этого. Возможно, кто-то из его предшественников вводил этот знак с подробными аргументами в пользу такого выбора. В более масштабной книге «Arithmetica Infinitorum» («Арифметика бесконечности»), опубликованной Валлисом на следующий год (1655-й), знак бесконечности вводится в том же контексте, а объяснений еще меньше. Для 1/∞ математик в скобках поясняет, что это бесконечно малая часть, к символу ∞, который вводится несколькими строчками ниже, — вообще никаких комментариев. Поэтому откуда этот знак появился — достоверных сведений нет.
Глава «1000»
Наиболее вероятной считают версию, что лемнискату Валлис увидел в позднеримских записях. Очень похожим символом в этрусских и римских текстах обозначалось число 1000: его изначально писали не с помощью привычной нам литеры M, а в виде двух повернутых друг к другу C и вертикальной чертой между ними — ⅭIↃ. Предполагают, что после упрощения именно этого тройного знака в позднеримские времена тысяча превратилась в M — симметричную букву с двумя незамкнутыми петлями по бокам. Из него же, судя по всему, в языке цифр возникла горизонтальная лемниската.
Именно лемнискату, а не M можно найти, например, на римских бронзовых абаках — небольших табличках размером с ладонь, которые использовали, чтобы производить простые расчеты. Для каждого разряда на абаке имелась небольшая бороздка — в эти бороздки (все они были подписаны) выкладывали шарики. До сегодняшнего дня сохранились как минимум две оригинальных счетных таблички (в Музее делле Терме в Риме, другая — в Кабинете медалей в Париже) и какое-то количество более поздних копий, слепков и моделей. Во времена Валлиса еще как минимум одна такая табличка была в Германии — в коллекции Марка Вельзера, которую тот подробно описал и зарисовал в начале XVII века.
Изображение символов на рисунке Вельзера, как и знаки «тысячи» на сохранившихся абаках, действительно похожи на лемнискату. И если где-то еще заметна вертикальная черта в середине символа, то на слепках, копиях и изображениях этих табличек (которые создавали до появления работ Валлиса) уже действительно можно найти современный символ бесконечности — из двух симметричных горизонтальных петель.
В иллюстрациях к книге немецкого математика Карла Меннингера «Числовые слова и числовые символы» 1934 года с описанием этих табличек устоявшийся к тому времени символ бесконечности используется уже без всякого стеснения.
Есть и другая (менее популярная) версия попадания лемнискаты в работу Валлиса. Она заключается в том, что знак бесконечности Валлис (или его предшественник, о котором нам неизвестно) получил путем адаптации строчной греческой буквы омега — ω.
Во-первых, буквы исторически использовали в качестве цифр (например, первая буква названия числа часто становилась цифрой, обозначающей это число). Во-вторых, обозначали и нумеровали неизвестные величины тоже греческими буквами. Сам Валлис, когда описывал бесконечно узкие параллелограммы, из которых он складывал суммарную площадь треугольника, для первых трех выбрал буквы альфа, бета и гамма. На другом конце бесконечного ряда должна идти бесконечность, символизировать которую могла бы последняя буква алфавита (то есть омега). А поскольку у омеги есть в списке букв конкретный порядковый номер, ее можно было немного видоизменить.
Впрочем, помимо использования математиками греческих букв — и общей логики, — никаких доказательств, хотя бы косвенно подтверждающих эту версию, нет.
Существуют и более маргинальные предположения по поводу происхождения знака бесконечности. Обсуждаются они, скорее, в формате ненаучного анализа: а почему бы и нет?
Поскольку Валлис был священником, его выбор вполне мог быть продиктован какими-то религиозными (или околорелигиозными) аргументами.
Например, первое очевидное предположение такого рода, что ученый вдохновился образом уробороса — змея, кусающего себя за хвост, известного еще со времен Древнего Египта. В средневековой Европе он играл важную символическую роль у ученых-алхимиков. В этих учениях он был в том числе символом вечности и бесконечной цикличности, и хотя изображали его как правило закрученным в кольцо, изображения в форме горизонтальной восьмерки тоже были нередки.
Иногда вспоминают и околорелигиозные нумерологические концепции, в которой восьмерка ассоциируется с вечностью и вневременным существованием. Хотя все эти предположения выглядят довольно надуманными, и никакого документального подтверждения (как и у версии с омегой) у них нет.
📄 Дорогие читатели! Теперь вы можете скачать PDF-версию любой статьи «Медузы». Файл можно отправить в мессенджере или по электронной почте своим близким — особенно тем, кто не умеет пользоваться VPN или у кого явно нет нашего приложения. А можно распечатать и показать тем, кто вообще не пользуется интернетом. Подробнее об этом тут.
Получается, если отбросить совсем уж спекулятивные версии и оставить наиболее аргументированную, то удивительное сходство начертаний восьмерки и знака бесконечности — не более чем совпадение. Иными словами, два этих знака — неполные омоглифы, то есть пишутся почти одинаково, но означают разное.
При этом у знака бесконечности есть и полный омоглиф — практически неотличимая от него буква из бирманского алфавита. В письменности нескольких языков сино-тибетской языковой семьи есть буква, которая практически ничем не отличается от знака бесконечности. В бирманском алфавите это буква тхасхинду, ထ. Интересно, что, как и современные арабские цифры, эта письменность тоже восходит к письму брахми. Но едва ли Джон Валлис был знаком с монским и шанским письмом, используемым в Юго-Восточной Азии.
Глава оконечная
Лемниската Бернулли — не единственный символ, который математики за прошедшие три с половиной века использовали для обозначения бесконечности. Однако все предложенные за это время альтернативы были нужны для обозначений каких-то особых форм бесконечностей, а не бесконечности в самом непосредственном смысле, и все они — лишь модификации знака Валлиса.
Чтобы как-то полнее обозначить значение символа в несколько ином математическом контексте, математики после Валлиса чуть видоизменяли символ из двух петелек, добавляя к нему детали или, наоборот, немного сокращая.
Например, в XVIII веке Леонард Эйлер использовал в своих работах понятие «абсолютной бесконечности» (это не та же абсолютная бесконечность, которую потом ввел Кантор). Швейцарскому математику это понятие понадобилось, чтобы описать бесконечный ряд бесконечных чисел. Чтобы отличать ее от обычной бесконечности, Эйлер предложил не замыкать знак и оставить два из четырех хвостиков петель на небольшом расстоянии центра знака. Вместо «ленивой восьмерки» получилась «ленивая зеркальная S» — чем-то похожая на ту «ленивую пятерку» из шутки, которой начинается этот текст. Можно было бы подумать, что герой этой шутки просто перепутал бесконечности и решил, что 1 / (x − 5) стремится к эйлеровской абсолютной бесконечности.
Хотя после Эйлера математики этот знак практически не использовали, в 1993 году перевернутую ленивую S включили в набор юникода: ∾ (U + 223E). Есть там и другие экзотические графемы, связанные с бесконечностью: знак неполной бесконечности ⧜, знак бесконечности с вертикальной чертой ⧞, знак бесконечности со стяжкой сверху ⧝ (U + 29DC, U + 29D, U + 29DD). Символы красивые, но ни один из них математики сейчас не используют.
В работах XIX и первой половины XX века эти знаки вводились, вероятно, для сравнения бесконечных множеств между собой. Разными знаками обозначались бесконечные множества различной мощности, то есть с разным «количеством» элементов. Скажем, бесконечные множества, элементы в которых можно пересчитать натуральными числами (например, множество целых чисел), и те, в которых нельзя (например, множество вещественных чисел) — разной мощности. Для несчетных бесконечностей нужен был знак ⧝, а для счетных — ⧜ или ⧞.
Сейчас для разграничения бесконечных множеств используют кардинальные числа, которые описывают количество элементов того или иного множества, и понятие континуума — мощность множества вещественных чисел.
Для чего в юникод в начале XXI века ввели полностью вышедшие из употребления знаки — для большинства математиков загадка. Используют их только в экзотических случаях.
* * *
Знак бесконечности уже давно — не просто математический символ, а полноценное культурное явление. Трансцендентность бесконечного беспокоит практически каждого, а свое выражение она находит в символе, который придумал Джон Валлис.
Если вы сейчас встретите опрокинутую на бок восьмерку, то почти наверняка в ней кто-то пытается зашифровать что-то метафизическое или религиозное — связанное, скорее, с наследием уробороса, чем с математическим значением. В частности, в начале XX века символ бесконечности попал на карты Таро. В колоде Папюса знак бесконечности в форме нимба над головой персонажа оказался сразу на некоторых картах, а в более поздних колодах закрепился над головой Мага.
И хотя «ленивая восьмерка» образована, скорее всего, не от полноценной вертикальной восьмерки, что-то «ленивое» в ней все же есть. Когда число становится таким большим, что дальше считать уже лень, можно использовать знак бесконечности, обозначая явление, находящееся за пределом смысла и повседневного человеческого восприятия.
Допустим, ботаники, по-видимому, полагают, что лично им дальше 12 считать не нужно: если тычинок или лепестков в цветке больше — они их уже не пересчитывают (на самом деле, в таком случае точное число уже не влияет на решение научных задач). Поэтому из формулы цветка розоцветных (она под этим абзацем) не следует, что тычинок и пестиков в нем бесконечное количество, — их просто больше 12.
Если концепция бесконечного не укладывается в сознание, мозг, немного ленясь думать дальше, все недопонятое укладывает в один знак из двух петель и пересечения в центре.
«Медуза»