разбор

В Москве ввели жесткие карантинные меры. Похоже, это правильно: математическая модель показывает, что иначе могли бы погибнуть больше 100 тысяч человек

Источник: Meduza

Мэр Москвы Сергей Собянин жестко ограничил передвижение жителей столицы. О том, что случилось бы, если бы эти или подобные меры не ввели, говорят результаты моделирования, которое провел по просьбе «Медузы» доцент МГУ Михаил Тамм. На ту же модель ориентировались власти штата Иллинойс, принимая решение о введении жесткого карантина в Чикаго. Вывод исследования: в столице России необходимо — и как можно раньше — резкое сокращение контактов между людьми. Только так можно подавить эпидемию, не допустить перегрузки медицинских учреждений и избежать тысяч жертв. «Медуза» публикует исследование Михаила Тамма с прогнозами развития эпидемии в Москве.

Все материалы «Медузы» о коронавирусе открыты для распространения по лицензии Creative Commons CC BY. Вы можете их перепечатать! На фотографии лицензия не распространяется.

Главное о модели и выводах из нее

Модель SEIR — самый распространенный инструмент для прогнозирования эпидемий и действия мер по их подавлению. В 2020 году модель была доработана Ричардом Нейером и его сотрудниками в Базельском университете с учетом особенностей эпидемии нового коронавируса. Расчеты по этому варианту SEIR, в частности, использовались при принятии решения о введении ограничительных мер в штате Иллинойс и в его крупнейшем городе Чикаго. 

Основное свойство модели SEIR — наличие так называемого эпидемического перехода: модель ведет себя радикально по-разному в зависимости от показателя R₀ — среднего числа людей, которых один зараженный успевает заразить за время, пока сам не выздоровеет. При R₀ меньше единицы эпидемия затухает, при показателе больше единицы заражается значительная часть населения. Значение R₀ зависит от особенностей вируса, доли населения, получившей иммунитет (в результате вакцинации или пережитого заболевания), а также мер по подавлению эпидемии (различные формы карантина). 

Моделирование показывает, с какой скоростью будет распространяться эпидемия, сколько будет заразившихся, жертв, а также больных в критическом состоянии. Последний показатель можно сравнить с мощностями медицинской системы и определить, способна ли она справиться с наплывом пациентов, нуждающихся в специализированной помощи: в случае с коронавирусом это реанимация, искусственная вентиляция легких и т. д.

Доработанная для COVID-19 модель учитывает все основные параметры эпидемии:

На основе именно этой модели был составлен документ, ставший основой для жесткого карантина в одном из крупнейших городов США — Чикаго — и во всем штате Иллинойс. 

В случае если бы власти Москвы и России не предприняли никаких мер сдерживания, к сентябрю в столице от коронавируса умерли бы 117 тысяч человек. Пик эпидемии пришелся бы на середину мая, после чего она затухла бы сама (из-за того, что большая часть населения переболела и приобрела иммунитет). На пике потребовалось бы 48 тысяч реанимационных коек (в реальности в городе в марте было 2,5 тысячи коек).

Слабые меры сдерживания эпидемии, вроде тех, что были введены властями до 28 марта, снизили бы количество умерших за время эпидемии до 92 тысяч человек, а количество критических больных составит 32 тысячи на пике эпидемии (он случится позже, чем в варианте без сдерживания, — в начале июня), так что медицинская система не сможет оказать помощь всем нуждающимся. И это при условии, что второй волны эпидемии не произошло бы. 

Радикально изменить ситуацию могли только жесткие меры подавления эпидемии, включающие запрет на выход на улицы без необходимости и наказания за нарушение карантина. Но их эффект критически зависит от сроков введения таких мер: поскольку это сделано на этой неделе, от коронавируса умрет всего 250 человек, а в реанимации на пике (в середине апреля) единомоментно окажется не более 80 больных. Если бы жесткий карантин ввели позже, количество умерших и потребность в койках реанимации выросли бы на порядок. 

Коронавирусная инфекция в Москве: прогнозы и сценарии 

I. Принципы моделирования эпидемий. Модели SIR, SEIR и их модификации 

В условиях стремительно развивающейся эпидемии COVID-19 большое внимание естественным образом привлекают математические модели, описывающие возможное развитие событий: ситуация меняется стремительно, и власти, и публика в целом нуждаются в каких-то ориентирах, на которых они могли бы основывать принимаемые решения. К счастью, соответствующая область науки довольно хорошо развита и у ученых есть достаточно внятное понимание того, как именно описывать распространение болезни. 

Базовой моделью для описания распространения эпидемий, если угодно «золотым стандартом», является так называемая модель SIR, от английских слов Susceptible (уязвимый), Infected (зараженный), Recovered (выздоровевший). Эта модель предложена шотландскими эпидемиологами Кермаком и Маккендриком в 1920-х годах, она хорошо изучена, подробное изложение можно найти во многих учебниках, неплохое изложение есть в статье в Википедии. 

В этой модели все население делится на группы (компартменты) в зависимости от своего отношения к болезни: уязвимые (S), зараженные (I) и выздоровевшие ®. С течением времени возможны переходы S → I (заражение) и I → R (выздоровление). 

В простейшей версии модели предполагается, что: 

В модели SIR есть два существенных параметра: характерное время t — типичное время выздоровления и коэффициент воспроизводства R₀ — отношение скоростей заражения и выздоровления (можно понимать этот параметр как среднее число людей, которых один зараженный успевает заразить за время, пока сам не выздоровеет). 

Главной особенностью модели SIR является эпидемический переход: поведение эпидемии радикально отличается в зависимости от того, R₀ больше или меньше единицы. 

При R₀ < 1 эпидемия затухает, при R₀ > 1 она распространяется и охватывает существенную часть населения (какую в точности — зависит от конкретного значения R₀, но речь про десятки процентов, например, при R₀ = 2 общее число переболевших оказывается равно примерно 80%). 

В случае если часть населения вакцинирована от болезни, эпидемический переход смещается вверх по R₀, так что при достаточно высокой доле вакцинированных распространение эпидемий прекращается. Это явление называется «групповой иммунитет» и лежит в основе кампаний массовой вакцинации населения. 

Модель SIR дает базовое качественное понимание динамики распространения инфекционных заболеваний, но для количественного моделирования этой динамики требуются различные уточнения, учитывающие особенности протекания конкретных болезней. В частности, важной особенностью многих болезней является наличие инкубационного периода, в течение которого человек уже является носителем болезни, но не демонстрирует симптомов и не является заразным для окружающих. Эта особенность может быть учтена разделением группы зараженных (Infected) на две подгруппы — экспонированных (Exposed), то есть зараженных, но находящихся в стадии инкубационного периода, и заразных (Infectious), — так что последовательность переходов между состояниями вместо S → I → R становится S → E → I → R. Соответствующая модель носит в литературе название SEIR. 

Кроме того, если, помимо собственно динамики заражения, мы хотим, что естественно в случае эпидемии COVID-19, оценить нагрузку на систему здравоохранения и количество жертв болезни, нужно ввести ряд дополнительных состояний пациентов, находящихся по времени после состояния «заразный», такие, например, как «тяжело больной» (нуждается в госпитализации), «в критическом состоянии» (нуждается в искусственной вентиляции легких) и «умерший». 

Результаты моделирования, приведенные ниже, основаны на расширенной модели SEIR с рядом таких дополнительных состояний, предложенной Р. Нейером из Университета Базеля специально для описания распространения нового коронавируса. Эта модель реализована в виде компьютерной программы для моделирования эпидемии COVID-19. В разделе About можно найти полную информацию о содержании и параметрах модели. 

II. Оценка параметров модели для Москвы 

Для корректного моделирования эпидемии, помимо адекватной базовой модели, необходимо правильно подобрать ее количественные параметры. Часть этих параметров связаны с биологией вируса и являются универсальными, что позволяет воспользоваться имеющимися данными по другим регионам. Другие параметры являются специфичными для конкретного города или региона, и их нужно подбирать, ориентируясь на локальные данные. Ниже перечислены основные параметры модели, от более универсальных к более локальным. 

1. Инкубационный период и заразный период

Известно, что средняя длительность инкубационного периода для COVID-19 составляет около пяти дней (Lauer SA et al. Ann Intern Med 2020 Mar 10). Время, в течение которого человек не имеет симптомов, но уже заразен, установлено несколько хуже, но ориентировочно составляет около трех дней (Y.F.W. Chan et al., Lancet, 395, 514, 2020; J.T. Wu et al., Lancet, 395, 689, 2020). Эти параметры естественно считать присущими вирусу самому по себе, а следовательно — универсальными для всех регионов распространения эпидемии. 

2. Регистрация заболевания, тяжесть его протекания и смертность

Главной особенностью COVID-19 является то, что тяжесть протекания болезни существенно зависит от возраста заболевших. Известно, что в очень большой доле случаев у молодых пациентов болезнь протекает бессимптомно или очень легко. Нет сомнений, что это повсюду приводит к существенно заниженной регистрации заболевших. Сверх того, ситуация с регистрацией существенно различна в разных странах, так как зависит от локальной доступности тестирования и протоколов доступа к нему. Точное число переболевших можно установить только проведением анализа на антитела в большой популяционной выборке. На сегодня таких исследований нигде не проводилось, так что всякие предположения об общем числе переболевших являются в лучшем случае информированными догадками. 

Тем не менее любая количественная модель должна задаться тем или иным предположением о связи истинного и наблюдаемого уровней заболеваемости. В модели Нейера эта связь определяется набором некоторых зависящих от возраста коэффициентов. Полный набор их конкретных значений приведен в разделе Severity assumptions and age-specific isolation; здесь остановимся лишь на важнейших деталях. 

Предполагается, что от 50 (среди пациентов старше 80 лет) до 95 (среди детей и подростков) процентов заболевших болеют достаточно легко для того, чтобы заболевание не было протестировано и зарегистрировано. Представление о такой большой доле нерегистрируемых случаев кажется разумным, так как иначе не представляется возможным объяснить радикальное расхождение в летальности COVID-19 в странах с выборочным (Италия, Испания) и относительно полным (Корея, Скандинавия) тестированием. 

Оценка повозрастных коэффициентов смертности для болеющих в тяжелой форме основана на опубликованных данных по статистике протекания болезни примерно у 70 тысяч пациентов в Китае в декабре — феврале. Для оценки коэффициентов смертности в конкретной стране или регионе используются данные о распределении населения по возрастам в данном регионе. На данный момент на neherlab.org в автоматическом режиме доступны данные о распределении по возрастам для России, именно они использовались при предварительных автоматических расчетах, после чего поправки на различия между возрастными пирамидами России и Москвы вносились автором вручную.

3. Сезонность

Известно, что другие распространенные в человеческой популяции коронавирусы обладают некоторой сезонностью: соответствующие заболевания чаще встречаются зимой, чем летом. Предлагается, что заразность коронавируса несколько (на 20%) увеличивается зимой (с максимумом 1 января) и настолько же снижается летом (с минимумом 1 июля). Для краткосрочных прогнозов это несколько второстепенный фактор, так как при такой сезонности в конце марта — начале апреля заразность должна быть примерно равна среднегодовой. Однако для среднесрочных прогнозов на несколько месяцев вперед этот фактор имеет значение.

4. Продолжительность тяжелой стадии заболевания

Среднее время, проводимое тяжело больными пациентами в больнице до выписки или ухудшения состояния, и среднее время, проводимое критически больными пациентами в реанимации на искусственной вентиляции легких (ИВЛ). В базовой модели Нейера предлагается считать эти периоды равными 4 и 14 дням соответственно. Маслов и Голденфельд основываясь на данных по штату Иллинойс, приводят другие цифры — 7 и 7 дней соответственно. Эти значения и были использованы в настоящем моделировании. Отметим, что данные Маслова и Голденфельда являются в некотором смысле более оптимистическими, так как фактором, лимитирующим способность системы здравоохранения справляться с эпидемией, является в данном случае число доступных аппаратов ИВЛ, так что более короткое время их занятия одним пациентом повышает способность системы здравоохранения справляться с кризисом.

5. Коэффициент воспроизводства R₀

В отличие от чисто биологических параметров типа инкубационного периода, коэффициент воспроизводства R₀, как ожидается, может быть различным в различных странах и регионах. Так, естественно предположить, в городах с большей плотностью населения и интенсивностью человеческих контактов эпидемия будет распространяться быстрее, а в регионах с более низкой плотностью населения — медленнее. Коэффициент R₀ можно достаточно просто оценить следующим образом. Известно, что на ранних этапах эпидемии число заболевших растет экспоненциально, то есть последовательно удваивается через фиксированное время 𝜏₂. Из теории модели SEIR известна связь между R₀ и временем удвоения: Rₒ= (1 + (𝜏ₑ/𝜏₂)ln2) (1 + (𝜏ᵢ/𝜏₂)ln2), где 𝜏ₑ= 5 дней, 𝜏ᵢ = 3 дня — это средняя длина инкубационного и заразного периодов соответственно, а ln2 ≈ 0.693 — натуральный логарифм двух. 

Число зарегистрированных в Москве случаев коронавируса за последние 20 дней прекрасно ложится на экспоненциальную зависимость со средним временем удвоения 2,8–2,9 дня (см. график 1). Если принять, что доля выявленных случаев, хотя, по-видимому, остается малой, не очень сильно меняется со временем, можно воспользоваться приведенной формулой и получить R₀ ≈ 3,8 для Москвы в середине марта. Для сравнения: значение R₀ во время вспышки эпидемии в городе Ухань оценивалось разными авторами в интервале от 2,2 до 6,5, со средним значением около 3.3 (Y. Liu et al., J. Travel Med., taa021, 27 (2020). Таким образом, московская оценка не кажется неадекватной. 

С учетом предполагаемой сезонности значение R₀ для середины марта должно быть примерно на 5% выше среднегодового. Поэтому в дальнейшем в моделировании используется значение среднегодового R₀, равное 3,6. 

6. Калибровка времени начала эпидемии

После того как параметры 1–5 заданы, для полноты модели остается лишь определиться с вопросом, в какой точке эпидемии мы находимся в данный момент. Определение ответа на основе зарегистрированного числа заболевших существенно затруднено тем, что мы не знаем, какая доля заболевших протестирована и определена. С другой стороны, представляется, что умершие от коронавируса в целом регистрируются заметно лучше, чем заболевшие. В связи с этим при моделировании было принято решение ориентироваться в качестве реперной точки на дату, когда число умерших от коронавируса превысило один случай. Для Москвы это 25 марта. Таким образом, при моделировании свободный параметр «начальное число инфицированных» выбирался таким образом, чтобы воспроизвести реперное значение «25 марта второй человек умер в Москве от коронавируса». 

7. Население Москвы и его возрастное распределение

В моделировании использовались официальные данные Госкомстата РФ о населении Москвы и его возрастном распределении на 1 января 2020 года. 

8. Сдерживание эпидемии

Для моделирования механизмов сдерживания эпидемии в модели имеется два механизма. Во-первых, можно задать зависящий от времени «параметр сдерживания», описывающий, во сколько раз предпринимаемые меры сдерживания снижают базовый коэффициент воспроизводства R₀. Во-вторых, в таблице Severity assumptions and age-specific isolation можно задать дополнительный множитель, избирательно снижающий R₀ для заражения конкретной возрастной группы. 

III. Ожидаемый ход эпидемии в отсутствие мер сдерживания 

После того как параметры моделирования определены так, как указано выше, начнем с моделирования естественного хода эпидемии, который можно ожидать в отсутствие карантинных и ограничительных мер. 

Результаты моделирования приведены вместе с результатами различных сценариев сдерживания в таблице. Ожидается, что пик заражения придется на начало, а пик смертности — на середину мая. На пике эпидемии более 48 тысяч пациентов будут нуждаться в интенсивной терапии (прежде всего в аппаратах ИВЛ). Общая смертность от COVID-19 за время эпидемии ожидается в районе 115–120 тысяч человек. Большинство умерших будут составлять старики (почти половина — старше 80 лет), но ожидается и около 7000 смертей москвичей в возрасте до 60 лет. 

Отмечу, что в этих оценках никак не учитывается дополнительный рост смертности, вызванный неизбежным при таком сценарии коллапсом системы здравоохранения и, в частности, катастрофической нехваткой аппаратов ИВЛ. В качестве ориентира отмечу, что в Москве на данный момент имеется в общей сложности около 2600 коек реанимации, лишь небольшая их часть оборудована аппаратами ИВЛ. Естественно ожидать, что это количество будет наращиваться в ближайшие недели, но все же очевидно, что 48 тысяч пациентов — это величина, намного превышающая самые оптимистичные оценки возможностей системы здравоохранения. 

IV. Возможные методы сдерживания и соответствующие сценарии развития эпидемии 

По большому счету, все действия по снижению масштаба эпидемии направлены на снижение коэффициента R₀. Снижение R₀ приводит качественно к двум результатам: (а) снижению общего числа заразившихся за время эпидемии и (б) увеличению ее длительности и, соответственно, снижению числа болеющих в каждый заданный момент времени, что снижает единовременную нагрузку на систему здравоохранения. При этом важно иметь в виду, что при небольшом уменьшении R₀ главную роль играет эффект удлинения эпидемии, в то время как снижение R₀ ниже единицы полностью подавляет эпидемию и, соответственно, общее число переболевших становится мало по сравнению с размерами популяции. Отметим, что в случае подавления эпидемии не вырабатывается, таким образом, групповой иммунитет, и при новом повышении R₀ после снятия карантинных ограничений возникает риск второй волны эпидемии. 

Отметим также, что поскольку эпидемия COVID-19 особенно опасна для пожилых людей, естественно рассматривать различные тактики сдерживания, преимущественно направленные прежде всего на снижение заражения пожилых людей. 

Основными методами снижения R₀ являются (а) изоляция заболевших и (б) общее снижение числа социальных контактов в популяции. В случае COVID-19 изоляция заболевших достаточно малоэффективный способ борьбы с распространением эпидемии. Это связано с большим количеством легких и асимптоматических, но тем не менее заразных случаев, а также с тем, что заражение, как правило, происходит на ранней стадии, когда больные еще не диагностированы. В этом, кстати, радикальное отличие COVID-19 от SARS (атипичная пневмония) — другой очень заразной болезни, вызываемой коронавирусом. SARS в среднем протекает гораздо тяжелее, чем COVID-19, больные становятся заразными тогда, когда уже чувствуют себя плохо. Это свойство позволило остановить эпидемию SARS путем выявления и изоляции заразных больных. Подобный подход к подавлению эпидемии COVID-19 вроде бы показывает довольно хорошие результаты в Корее, Тайване и Сингапуре — странах с опытом борьбы с эпидемией атипичной пневмонии, но он требует соответствующей экспертизы, очень крупномасштабного тестирования и, по-видимому, работает только при достаточно малом количестве выявляемых случаев (порядка десятков на миллион населения). 

Поэтому на данном этапе основные доступные большинству стран, включая и Россию, методы сдерживания — это методы, более или менее принудительно снижающие общее число социальных контактов в популяции в целом. 

В качестве базового примера применения таких методов рассмотрим сценарий А, при котором все население снижает число социальных контактов в среднем на 20%, а пожилые люди старше 65 лет — вдвое. Представляется, что принятые в Москве до 29 марта меры — закрытие школ и университетов, запрет увеселительных мероприятий, рекомендация старикам не выходить на улицу и т. д. — должны были обеспечить примерно такой уровень снижения социальной активности. 

Такие меры (см. таблицу), как ожидалось, позволили бы несколько растянуть эпидемию (пик в этом случае пришелся бы на первые числа июня), снизить число умерших на 20–25%, а пиковую нагрузку на систему здравоохранения — примерно на треть (с 48 до 32 тысяч нуждающихся в ИВЛ на пике эпидемии). Понятно, что и такой вариант развития событий совершенно неприемлем, так что дальнейшее усиление ограничительных мер было неизбежным. 

В качестве возможных сценариев более сильных ограничительных мер рассмотрим следующие: 

Сценарий Б: постепенное, но относительно мягкое увеличение ограничительных мер (закрытие магазинов и ресторанов и прочих публичных пространств, стимулирование работы из дома, пропагандистская кампания) приводит к тому, что общее число социальных контактов у населения в целом снижается вдвое, а у старших возрастных групп — в четыре раза. 

Сценарий В: увеличение ограничительных мер, описанное в сценарии А, плюс при достижении смертности 30 человек/день — полный локдаун по образцу того, что сейчас делается во многих странах Западной Европы: запрет выходить из дома без уважительной причины, допуск в продуктовые магазины по одному, закрытие всех бизнесов, кроме необходимых для жизнеобеспечения, и т. д. Насколько можно понять из проведенного автором анализа смертности в Италии, такая политика позволяет снизить число социальных контактов примерно в пять раз. 

Сценарий Г: превентивный локдаун, начиная, например, с 6 апреля (исследование проводилось до объявления о локдауне в Москве с 30 марта). 

В таблице приведены результаты моделирования всех пяти сценариев (включая отсутствие любых мер). Видно, что среди рассматриваемых сценариев нет хороших. Вариант Б (максимальные ограничения, но без полного локдауна) позволяет снизить смертность более чем в два раза и уменьшить количество больных, нуждающихся в ИВЛ на пике эпидемии, до цифры, которую хотя бы теоретически можно попытаться максимальным напряжением сил удовлетворить (тем более что пик эпидемии ожидается только через три месяца). Однако такой сценарий предполагает сохранение ограничений по меньшей мере на год (или до получения лекарства или вакцины от COVID-19), и даже после этого при снятии ограничений не исключена новая волна заболеваемости. 

Варианты с локдауном выглядят в целом предпочтительнее, так как позволяют снизить число жертв на порядки и понизить нагрузку на систему здравоохранения до приемлемого уровня. У них, однако, имеется огромная проблема: риск второй волны эпидемии после снятия локдауна очень велик. Теоретически представляется возможным, что после подавления эпидемии удастся контролировать возникновение новых вспышек путем оперативного выявления и изоляции заболевших (см. корейский, сингапурский и т. д. опыт), но совершенно не исключено, что инфекция может вновь выйти из-под контроля, так что для ее подавления понадобится новый локдаун. 

Наконец, наиболее, пожалуй, очевидным результатом анализа является то, что превентивный локдаун явно предпочтительнее отложенного: он предполагает меньшую нагрузку на систему здравоохранения, более чем в 10 раз меньшее число умерших и к тому же будет существенно короче. В связи с этим решение о превентивном введении локдауна представляется совершенно разумным.

V. Обсуждение 

В заключение стоит сделать несколько важных замечаний. Скорее всего, многим читателям может показаться, что автор их специально пугает: вывод о возможности 110–120 тысяч смертей от коронавируса в Москве звучит одновременно и жутко, и неправдоподобно. Тем не менее хотелось бы обратить внимание, что при отладке модели и выборе параметров мы последовательно делали максимально оптимистичный выбор. Действительно:

Таким образом, автор считает, что представленный выше нулевой сценарий является сдержанно оптимистической оценкой того, что будет происходить в Москве в отсутствие мер подавления эпидемии. Откуда же берутся заниженные ожидания потенциального числа умерших? По-видимому, большое число наблюдателей ожидает, что эпидемия может охватить какую-то небольшую часть населения (скажем, несколько процентов или несколько десятых процента), а потом по каким-то причинам самопроизвольно затухнуть. Такие ожидания основаны на жизненном опыте, приобретенном при наблюдении за болезнями, к которым у значительной части населения есть полный или частичный иммунитет, такими, как, например, грипп или ветрянка. Принципиально важно понять, что в случае COVID-19 мы имеем дело с новым заболеванием, к которому нет иммунитета ни у кого. В таком случае ожидать, что болезнь самопроизвольно остановится, охватив всего 1 или 10 процентов населения, можно примерно с таким же основанием, как ожидать, что падающий вам на голову кирпич самопроизвольно остановится в воздухе, не долетев до вас метр или полтора. 

У эпидемии, распространяющейся в популяции без иммунитета, может быть только две возможных судьбы: или она подавляется, или она распространяется и охватывает существенную долю населения (при значениях R₀, характерных для COVID-19 — заведомо больше половины). При этом чем эпидемия становится больше, тем больше сил и ресурсов нужно, чтобы ее подавить. Пока число заболевших исчисляется десятками или сотнями, можно добиться подавления относительно дешевым способом — путем изоляции заболевших, выявления и карантинирования их контактов. Для нынешней вспышки COVID-19 в Москве эта возможность уже упущена. При больших масштабах эпидемии единственным доступным средством оказываются крупномасштабные карантинные меры, направленные на все население. Чем раньше они вводятся и чем жестче соблюдаются, тем более быстрым оказывается подавление и тем меньшими будут издержки для общества и экономики. 

Благодарности 

Использованная для расчетов модель построена Рихардом Нейером (Университет Базеля) с сотрудниками и доступна по адресу neherlab.org/covid19. Автор благодарен Сергею Маслову (Университет Иллинойса в Урбана-Шампейне) за продуктивное обсуждение.